Автоматическое создание новых музыкальных режимов (ладов) на основе математических моделей
Создание новых музыкальных ладов, или режимов, исторически было эмпирическим процессом, основанным на культурных традициях, акустических наблюдениях и интуиции композиторов. Однако развитие математической теории музыки и вычислительных методов открыло возможность систематического и автоматического генерирования новых ладовых структур. Этот процесс опирается на формализацию музыкальных параметров — таких как интервальные соотношения, симметрия, цикличность и сонорические свойства — в строгие математические модели, которые затем могут быть обработаны алгоритмически для поиска неизвестных или неиспользуемых в традиционной практике звукорядов.
Математические основы описания ладов
Лад в западной теории музыки можно определить как упорядоченный набор высот (нот) в пределах октавы, который обычно состоит из 5-8 тонов. Математически это представляет собой подмножество циклической группы Z12 (в случае 12-тонового равномерно темперированного строя), где октава делится на 12 равных полутонов. Каждый лад кодируется бинарным вектором длины 12, где 1 обозначает наличие ступени, а 0 — ее отсутствие. Например, мажорный лад (ионийский режим) соответствует вектору (1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1).
Ключевыми математическими концепциями для анализа и генерации ладов являются:
- Интервальный вектор: Характеристика, показывающая количество каждого интервала (от 1 до 6 полутонов) между всеми парами ступеней лада. Определяет «звучание» и напряженность лада.
- Свойство хорошо сформированной шкалы (Well-Formed Scale): Концепция, введенная математиком Норманом Кэри и музыковедом Дэвидом Клэмпеттом. Шкала является хорошо сформированной, если она может быть порождена последовательными шагами постоянного размера (в полутонах) по модулю октавы, и эти шаги принимают только два различных значения.
- Мощность и насыщенность: Количество ступеней в ладе (обычно от 5 до 9). Алгоритмы могут искать лады с заданной мощностью.
- Симметрия и транспозиционная инвариантность: Лады могут обладать симметрией, то есть совпадать с собой при определенных транспозициях (например, уменьшенный септаккорд симметричен каждые 3 полутона).
- Количество ступеней (например, только 7-ступенные лады).
- Наличие или отсутствие определенных интервалов (например, обязательное наличие чистой квинты).
- Максимизация или минимизация разнообразия интервального вектора.
- Соблюдение свойства «аутентичности» (наличие одноименного основного тона).
- Генетические алгоритмы: Лад кодируется как хромосома (битовая строка). Популяция ладов «скрещивается» и «мутирует», а отбор происходит по значению фитнес-функции (например, близость интервалов к чистым консонансам натурального строя).
- Имитация отжига: Позволяет избегать локальных оптимумов в поиске ладов, максимизирующих заданную метрику.
- Анализ сходства с известными ладами: Метрики, такие как расстояние Хэмминга между бинарными векторами, позволяют найти лады, близкие к традиционным (например, к мелодическому минору), но с одной измененной ступенью.
- Гармонический потенциал: Алгоритмический анализ аккордов, которые можно построить на ступенях нового лада. Вычисляется количество консонантных трезвучий, септаккордов и т.д.
- Мелодическая плавность: Оценка на основе преобладания малых интервалов (секунд) над большими скачками.
- Баланс консонансов и диссонансов: Наличие как устойчивых, так и напряженных интервалов.
- Структурная ясность: Наличие ярко выраженного основного тона (тоники).
- Мелодическая удобство: Преобладание малых интервалов между соседними ступенями звукоряда.
- Гармоническое богатство: Возможность построить на ступенях лада разнообразные аккорды.
Модели и алгоритмы автоматической генерации
Автоматическое создание новых ладов строится на задании целевых ограничений и последующем поиске по пространству всех возможных подмножеств Z12 или других темперированных строев (например, 19- или 31-тоновых).
1. Генерация на основе комбинаторного перебора с фильтрацией
Самый прямой метод — перебор всех возможных комбинаций ступеней. Для 12-тонового строя общее количество возможных ладов (подмножеств) равно 212=4096, что делает полный перебор вычислительно тривиальным. Алгоритм генерирует все векторы, а затем фильтрует их по заданным критериям:
| Критерий фильтрации | Математическое выражение | Цель |
|---|---|---|
| Точная мощность | sum(vector) = 7 | Отбор только гептатонических ладов |
| Наличие тритона | Интервал в 6 полутонов должен встречаться ≥1 раз | Обеспечение ладовой напряженности |
| Отсутствие хроматических кластеров | В векторе нет последовательностей «1,1» для смежных полутонов | Получение диатонических по характеру ладов |
2. Генерация на основе теории групп и симметрии
Этот подход использует алгебраические свойства циклических групп. Лады могут конструироваться как орбиты действия подгрупп или циклических сдвигов. Например, можно сгенерировать все лады, инвариантные относительно транспозиции на тритон (6 полутонов). Такой подход эффективно находит симметричные лады, которые часто обладают уникальным, «неклассическим» звучанием.
3. Оптимизационные и эволюционные алгоритмы
Когда пространство поиска велико (например, в микрохроматических строях с 24, 31, 53 тонами) или критерии сложны, применяются методы оптимизации. Целевая функция (фитнес-функция) формализует желаемые акустические или эстетические свойства лада. Алгоритмы включают:
4. Генерация на основе акустических моделей: шкалы с заданными консонантными свойствами
Эта модель использует физику звука. Цель — создать лад, ступени которого образуют максимально консонантные интервалы с фиксированным тоническим центром. Алгоритм может максимизировать сумму «степеней консонантности» для всех ступеней лада относительно тоники, где консонантность каждого интервала вычисляется, например, по формуле Эйлера или на основе совпадения обертонов.
| Интервал (полутонов) | Название | Коэффициент консонантности (1-10) |
|---|---|---|
| 0 | Прима | 10 |
| 7 | Квинта | 9 |
| 5 | Чистая кварта | 8 |
| 4 | Большая терция | 7 |
Расширение за пределы 12-тонового строя: микрохроматика и нетемперированные лады
Математические модели особенно плодотворны для создания ладов в системах с иным, чем 12, количеством делений октавы. В 19-тоновом, 24-тоновом (четвертитоновом) или 53-тоновом строе пространство возможных ладов колоссально расширяется. Алгоритмы могут генерировать лады, которые аппроксимируют интервалы натурального (чистого) строя лучше, чем стандартный 12-тоновый строй. Например, в 31-тоновом строе можно создать лад, в котором большая терция (соотношение частот 5/4) и чистая квинта (3/2) представлены с исключительной точностью.
Практическое применение и оценка сгенерированных ладов
Автоматически сгенерированные лады не являются музыкально значимыми сами по себе. Требуется система оценки и категоризации.
Результатом работы системы является не просто список векторов, а каталог ладов с их свойствами: интервальным составом, примерами транспозиций, потенциальными гармоническими функциями и даже короткими сгенерированными мелодическими паттернами для демонстрации.
Интеграция с системами искусственного интеллекта для композиции
Сгенерированные лады становятся основой для работы других ИИ-моделей в музыке. Модель машинного обучения, например, рекуррентная нейронная сеть (RNN) или трансформер, может быть обучена сочинять мелодии не в мажоре или миноре, а в новом, математически сгенерированном ладу. Это позволяет создавать музыку с уникальным звуковым колоритом, который был бы труднодоступен для человека-композитора, не знакомого с экзотическими звукорядами.
Ответы на часто задаваемые вопросы (FAQ)
В чем практическая польза автоматического создания ладов?
Практическая польза заключается в расширении музыкальной палитры композиторов, саунд-дизайнеров и разработчиков музыкального софта. Автоматические системы могут предложить уникальные звукоряды для создания специфических атмосфер, этнических стилизаций (даже несуществующих культур), или для использования в современных жанрах, таких как экспериментальная электронная музыка, джаз или кинокомпозиция. Это инструмент для преодоления творческого кризиса и поиска новой гармонической выразительности.
Могут ли такие алгоритмы заменить музыкальную интуицию?
Нет, алгоритмы не заменяют музыкальную интуицию и эстетическое чувство. Они выступают как генеративный инструмент, подобный новой разновидности музыкального конструктора. Алгоритм предлагает сырой материал — набор высот. Задача музыканта — отобрать из тысяч сгенерированных вариантов те, которые обладают художественным потенциалом, и научиться использовать их в живом музыкальном контексте, выстраивать фразы, гармонии и форму.
Как оценивается «качество» или «красота» сгенерированного лада?
Строгой объективной метрики «красоты» лада не существует. Оценка ведется по косвенным, формализуемым критериям, которые коррелируют с музыкальной приемлемостью:
Окончательную оценку всегда дает человек-музыкант.
Существуют ли известные композиторы, использующие подобные методы?
Да, принципы, лежащие в основе этих методов, активно использовались композиторами XX века, хотя и без сложных компьютерных алгоритмов. Яркий пример — композитор и теоретик Николай Слонимский, составивший «Лексикон музыкальных интервалов» — сборник тысяч масштабных паттернов. Современные композиторы, работающие в сфере спектральной музыки (например, Тристан Мюрай) или микрохроматики, часто используют математические модели для конструирования звуковых миров. Компьютерная автоматизация делает эти техники доступными для более широкого круга создателей.
Можно ли сгенерировать лады, не основанные на равномерной темперации?
Да, это активно исследуемое направление. Модели могут работать в пространстве частот, а не в дискретных полутонах. Алгоритмы могут генерировать наборы частот, соотношения которых подчиняются заданным акустическим или алгебраическим правилам — например, чтобы все ступени были связаны рациональными отношениями (как в чистых строях) или, наоборот, иррациональными числами для создания особого диссонантного эффекта. Однако работа с такими ладами требует специальных инструментов или синтезаторов.
Комментарии